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7．任取两个满足1≤m＜n≤3的实数m，n，则椭圆mx²+ny²=1的离心率小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$的概率为（　　）

试题答案

分析 根据题意，求出椭圆mx²+ny²=1的离心率e，列出不等式求出n与m的关系；由此画出满足条件的线性区域，求出对应的概率．

解答 解：椭圆mx²+ny²=1可化为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$=1，
∵1≤m＜n≤3，
∴1≥$\frac{1}{m}$＞$\frac{1}{n}$≥$\frac{1}{3}$，
∴在椭圆mx²+ny²=1中，
a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{n}$，c²=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-m}{mn}$；
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{n-m}{n}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即1-$\frac{m}{n}$＜$\frac{1}{2}$，
化简得n＜2m；
∴由此画出满足条件$\left\{\begin{array}{l}{n＜2m}\\{1≤m＜n≤3}\end{array}\right.$的线性区域，如图所示：

∴所求的概率为P=1-$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△ABC}}$=1-$\frac{\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×2×2}$=$\frac{7}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查了几何概型与线性规划的应用问题，也考查了椭圆的简单几何性质的应用问题，考查了数形结合与转化思想的应用问题，是综合性题目．