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4．已知P（x，y）为区域$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-4{x}^{2}≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y的最大值是（　　）

试题答案

分析 由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-4{x}^{2}≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$作出可行域如图
由图可得A（a，-2a），B（a，2a），
由S△OAB=$\frac{1}{2}$•4a•a=2，得a=1．
∴B（1，2），
化目标函数y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
∴当y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$过A点时，z最大，z=1+2×2=5．
故选：A．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．