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10．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；
（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；
（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；
（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？试题答案

分析 （1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；
（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；
（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．

解答 解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，
由300=30k解得，k=10；
故P=10v，
当30≤v≤36时，设P=mv²，
由300=30²m解得，m=$\frac{1}{3}$；
故P=$\left\{\begin{array}{l}{10v，0＜v≤30}\\{\frac{1}{3}{v}^{2}，30＜v≤36}\end{array}\right.$；
（2）当0＜v≤30时，
Y=（10v+480）$\frac{100}{v}$=1000+$\frac{48000}{v}$，
当30≤v≤36时，
Y=（$\frac{1}{3}$v²+480）•$\frac{100}{v}$=$\frac{100}{3}$v+$\frac{48000}{v}$；
故Y=$\left\{\begin{array}{l}{1000+\frac{48000}{v}，0＜v≤30}\\{\frac{100}{3}v+\frac{48000}{v}，30＜v≤36}\end{array}\right.$；
（3）当0＜v≤30时，Y=1000+$\frac{48000}{v}$是减函数，
当30≤v≤36时，Y=$\frac{100}{3}$v+$\frac{48000}{v}$在[30，36]上是减函数；
故Y在（0，36]上是减函数，
故当x=36时，Y有最小值为$\frac{100}{3}$×36+$\frac{48000}{36}$=$\frac{7600}{3}$（元）．

点评 本题考查了分段函数在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用．