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14．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2=AA₁，则直线AC₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．试题答案

分析 根据题，过取BC的中点E，连接C₁E，AE，证明AE⊥面BB₁C₁C，推出∠AC₁E就是AC₁与平面BB₁C₁C所成的角，解直角三角形AC₁E即可．

解答 解：取BC的中点E，连接C₁E，AE
则AE⊥BC，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
面ABC∩面BB₁C₁C=BC，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴∠AC₁E就是AC₁与平面BB₁C₁C所成的角，
在Rt△AC₁E中，∵AB=AA₁，
sin∠AC₁E=$\frac{AE}{{AC}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．