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1、2023《全国100所名校单元测试示范卷》·高三数学理科·全国人教

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10．已知tanα是关于x的方程2x²-x-1=0的一个实根，且α是第三象限角．
（1）求$\frac{2sinα-cosα}{sinα+cosα}$的值；
（2）求cosα+sinα的值．试题答案

分析 （1）利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，计算即可．
（2）利用同角三角函数的基本关系式，通过解方程求解即可．

解答 解：∵2x²-x-1=0，∴${x_1}=-\frac{1}{2}，{x_2}=1$，∴$tanα=-\frac{1}{2}$或tanα=1，又α是第三象限角，…（4分）
（1）$\frac{2sinα-cosα}{sinα+cosα}=\frac{2tanα-1}{tanα+1}=\frac{2×1-1}{1+1}=\frac{1}{2}$．…（9分）
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}tanα=\frac{sinα}{cosα}=1\\{sin^2}α+{cos^2}α=1\end{array}\right.$且α是第三象限角，∴$\left\{\begin{array}{l}sinα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ cosα=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$，∴$sinα+cosα=-\sqrt{2}$…（14分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．