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19．直线y=1-x交椭圆mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）于M、N两点，弦MN的中点为P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为$\frac{1}{2}$，且以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．试题答案

分析 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．直线方程与椭圆方程联立化为（m+n）x²-2nx+n-1=0，△＞0，利用中点坐标公式及其根与系数的关系可得：n=2m．由于以MN为直径的圆经过坐标原点，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁•y₂=0，再利用根与系数的关系可得m+n=2，联立解出即可得出．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}={x}_{0}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}={y}_{0}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1-x}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（m+n）x²-2nx+n-1=0，
△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0，解得m+n-mn＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{2n}{m+n}$，x₁x₂=$\frac{n-1}{m+n}$．
∴x₀=$\frac{n}{m+n}$，y₀=1-x₀=$\frac{m}{m+n}$，
∴$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，即n=2m．
∵以MN为直径的圆经过坐标原点，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁•y₂=x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{2（n-1）}{m+n}-\frac{2n}{m+n}$+1=0，
化为m+n=2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{n=2m}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{4}{3}$．满足△＞0．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

写作任务是分享自己的感悟和思考,作为青年学子代表,在某市青年论坛上发表以“民族复兴,青年的责任”为主题的演讲。 (二)写作任务分解 任务一:主题 主题为“民族复兴,青年的责任”。必须明确回答引导语中的问题“有怎样的感悟和思考”,写作过程中要表达自己对“国家富强,民族复兴”与“青年”关系的感悟和思考,阐释“民族复兴,青年的责任”的主题。没有明确阐释“民族复兴,青年的责任”主题的,不能评为一类文和二类文。 任务二:结合上述材料 材料的内容必须在行文中有所体现,有概述或分析。一定要明确写作情境,是在某市青年论坛上发表演讲,表达自己的感悟和思考。 任务三:写作者身份、听者对象写作者是青年学生,听者是青年论坛的与会者。任务四:文体 文体为演讲稿。基本构成:标题,开头(称呼、问候语),正文(着重阐释“民族复兴,青年的责任”的主题),结尾(小结)。 语言:体现交流(际)性写作特色,语言准确流畅。 (三)题意评分解说 (四)补充说明